QUESTÃO

(ENEM) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

(A) 0

(B) 1

(C) 3

(D) 4

(E) 5

RESPOSTA: D

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Resposta Comentada:

As funções FT e CT são funções polinomiais do 1° grau crescentes, sendo que FT cresce mais rapidamente que CT, pois seu coeficiente angular é maior (5 > 2).

Em contrapartida, como o termo independente de FT é igual a 0 e o de CT é igual a 12, temos que CT(0) > FT(0), ou seja, se nada for produzido a indústria terá um custo igual a 12:

CT(q) = 2q + 12 ⇒ CT(0) = 2.0 + 12 ⇒ CT(0) = 12

Ao passo que o seu faturamento será igual a 0, já que nada será vendido:

FT(q) = 5q ⇒ FT(0) = 5.0 ⇒ FT(0) = 0

Pode-se dizer que CT(0) = 12 representa o custo fixo da empresa. Despesas que devem ser pagas mesmo que não haja produção ou faturamento, por exemplo, o salário dos em

pregados.

Logo se nada for produzido a indústria terá um prejuízo igual a 12:

LT(q) = FT(q) - CT(q) = FT(0) - CT(0) ⇒ LT(0) = 0 - 12 ⇒ LT(0) = - 12

Um lucro de -12 equivale a um prejuízo igual a 12.

À medida que a quantidade produzida aumenta, o faturamento aumenta em maior valor que o custo de produção, até uma certa quantidade na qual não haverá nem lucro, nem prejuízo, conhecida como ponto de equilíbrio e a partir desta quantidade lucros serão auferidos.

A quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo é justamente o seu ponto de equilíbrio.

No ponto de equilíbrio temos que FT(q) = CT(q) e visto que FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12, temos:

FT(q) = CT(q) ⇒ 5q = 2q + 12 ⇒ 5q - 2q = 12 ⇒ 3q = 12 ⇒ q = 4

O 4 é o ponto de equilíbrio desta indústria, quantidade a partir da qual não mais terá prejuízo.